丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）到目前为止，我在为《返朴》所写的两篇文章中讨论的函数迭代（参见《这么说迭代，你一定能懂》《一名生态学家的数学探索》），周期点的周期只是1和2的一些次方，而看不到其他周期的周期轨道。偶数2后面的第一个奇数是3，它也是第一个奇素数。在中国的成语中，含有“三”的那些大都与“多”这个概念有关联，比如“三思而行”、“三令五申”、“三人成虎”、“三教九流”、“一而再，再而三”、“三人行必有我师焉”、“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”等等。中国春秋时代流传至今的一些名言也强调了“三”，如老子的“道生一，一生二，二生三，三生万物”和屈原在《天问》中的问话“阴阳三合，何本何化？”回到迭代上来，读者自然会问：当给定的函数具有一个周期为三的周期点时，会有什么发生？我们已经看到周期为一的周期点（即不动点）或周期为二的周期点的存在不一定能激发滚滚波涛。事实上，对于恒等函数f(x)=x，每一个实数都是它的不动点，所以就没有周期大于1的周期点了，这是一个完全“规矩”并且特别简单的严格递增函数，即自变量越大则函数值越大。对于曾经做过例子的“变号函数”f(x)=-x，每一个实数被映射到它的相反数，所以除了0这个不动点外，每一个非零数都是周期为二的周期点，故变号函数没有周期大于2的周期点，它是一个既规矩又简单的严格递减函数，即自变量越大则函数值越小。然而，一旦某个函数有了一个周期为三的周期点，它必定是非单调的，因而也一定是非线性的；几何上看它的图象或者有山峰，或者有山谷，或者二者都有。这里给出一个简单的证明，领略一下推理的逻辑力量。令函数f的周期-3轨道为{a,b,c}，即f(a)=b，f(b)=c，f(c)=a。不失一般性，可假设abc。如果f是单调的，比方说f是单调递增的，则由bc推得c=f(b)≤f(c)=a，与ac的假设矛盾；又比方说如果f是单调递减的，则由ab推得b=f(a)≥f(b)=c，与bc的假设矛盾。因此f不能是单调函数。读者可对a,b,c之间的其他大小关系证明同一结论。既然一个具有周期-3轨道的函数在其定义域上是非单调的，它会展示出丰富多彩的现象吗？答案是确实会的，它不仅孕育出一个令人惊奇的定理，而且还催生出一个崭新的数学名词。然而这一切均来源于一位气象学家的终生爱好和偶然发现，他关于天气预报的论文引导了数学家进入混沌的天地。01气象学家握住了起跑第一棒爱德华·洛伦茨(EdwardNortonLorenz，-)出生于美国位于新英格兰地区的康涅狄格州西哈特福德市，从小就是一个气象迷，每天都要去屋外瞧一瞧温度计上的气温数字。他先后在达特茅斯学院和哈佛大学获得数学学士和硕士学位。在第二次世界大战中，他的爱好派上了用场，从美国参战后的年到二战胜利后的年，他是美国空军的气象预报员。复员后他不忘初心，去了麻省理工学院读气象专业的研究生院，于年获得博士学位。最终他成了这所理工名校的气象学教授。从年起，他专心致志于数值天气预报的研究，特别地，他选择了十二个经过简化的非线性常微分方程进行数值计算，用于模拟他称之为“玩具天气”演化过程中流体运动中的速度、温度、压力等物理量的变化。那个时期，科学界对长期天气预报充满着乐观的气氛，因为世界上第一台现代电子计算机已经于年诞生于宾夕法尼亚大学，而“现代计算机之父”冯·诺伊曼(JohnvonNeumann，-)正是形成这股乐观强气流的超级鼓风机。50年代初，他率领一批能人在普林斯顿高等研究院继续研制电子计算机，一直到他罹患癌症前，他都对计算机的发展倾注心血，顺便成了应运而生的计算数学这一学科的创始人之一，并且对数值计算偏微分方程的差分格式稳定性理论做出了基础性的贡献。他深信，随着计算机运算能力一日千里的大踏步前进，用高速计算机迅速数值求解确定大气温度、压强等宏观尺度变量的流体力学方程离散化后的大型代数方程组，就能准确预报出未来几周甚至几个月的天气状态。他甚至冀望着电子计算机很快能帮助人类控制天气。然而，冯·诺伊曼年英年早逝，即便像他这样的科学天才也没能预测到天气预报所依赖的偏微分方程，存在与生俱来的内在的“混沌机制”。这个机制在他离世四年后被数学基础扎实的气象学家洛伦茨给首次揭示了出来。到了60年代初的某天，洛伦茨像往常一样走进他五楼的办公室，继续用他那台RoyalMcBee公司制造的八百磅重的LGP-30“台式”计算机来计算那组常微分方程初值问题的数值解。不久，这组常微分方程被他“浓缩”成三个微分方程构成的二次系统，放进了他最有名的论文里，现在的名气大得很，被起的名字是洛伦茨方程或洛伦茨系统，具体写出来就是：dx/dt=10(y-x),dy/dt=x(28-z)–y,dz/dt=xy–(8/3)z。算了一阵子之后，洛伦茨想休息一会儿，便暂停了计算。于是他把打印出来的目前计算结果抄了下来，作为继续计算的初始数据输入到计算机里，然后他穿过大厅下楼喝咖啡去了。一个小时过后他回到了办公室，却注意到计算机并没有精确地重复以往根据同一个初始值计算出的老结果，这似乎不是理所当然的事。学过大学微分方程基础教程的人都知道，单个常微分方程或由几个常微分方程构成的常微分方程组有个“基本定理”，它的要点是“初值问题的解是存在并且唯一的”，意思是说，只要解函数的初始条件给定，方程或方程组有并且仅有一个解，它满足给定的初始值。这个性质与不证自明的“初始点唯一确定函数的迭代点轨道”之显然性质是一致的。按照上述基本定理，程序一样，初始值一样，计算机输出的结果也应该是一样的。难以理解的是，洛伦茨发现新的计算结果同上一次的计算结果随着时间的向前推移迅速地偏离，面目全非。经过两个月的时间后，“天气”就完全不一样了，这不是应该看到的现象。细心的他将信将疑地重新算了几次，类似的现象在反复试验中总是出现。他的脑海里出现了第一个判断：糟糕，计算机坏了。然而，检查机器后他发现计算机并没有问题。就在那个时刻，洛伦茨突然明白了个中原因。这个顿时的觉悟所引申出的观念突破，借用美国科学记者格莱克(JamesGleick，-)在其入围普利策奖的科学报告文学Chaos：MakingaNewScience(《混沌：开创一门新科学》)中写下的一句评语，“播下了一门新科学的种子。”洛伦茨这个无意之中的满盆收获，表面上看虽属于偶然发现，仿佛是一个人们常常经历的随机事件，本质上实属必然结果，是他作风严谨的科学态度和经历过广泛数学训练的双重效应，纯粹是瓜熟蒂落，水到渠成。这和上一个世纪英国细菌学家亚历山大·弗莱明(AlexanderFleming，-)于年秋培养细菌时偶然发现盘尼西林一样是偶然性与必然性的完美结合。原来，当时的计算机内存中，计算后的数据仅仅保持六位小数，而打印结果时为了节省纸张，只打印出经过四舍五入后保留的三位小数，比如0.打印成0.，0.打印成0.。洛伦茨在去喝咖啡前从打印纸上抄下的数据只有三位小数，与算到这个时刻的实际计算结果仅仅相差不到万分之五，但他再输进计算机的只有三位小数的初始值，其对应的新的随着时间推移的计算结果和原先预期的计算结果发生了越来越大的偏差，这真是一个非常奇怪的现象，与人们通常的观念相悖。人们习以为常的观念是：小的输入误差也会保证小的输出误差。这是物理、几何及工程技术测量的基础。任何测量都有不可避免的误差，但只要误差是足够地小，结果就应该是足够地精确。譬如要算出一个长方形的面积，经验告诉我们，只要两个边长量得足够精确，算出的面积就足够令人放心。但是，有的时候很小的输入误差也会导致很大的输出误差。比方说，如果我们用天文望远镜来观察远在天穹的中国空间站天和核心舱，望远镜的仰角即便存在极其微小的偏差也会把目标定格在茫茫天空中相距空间站甚远的另外一处地方。原因非常简单：地球观察点与空间站之间的距离，作为由于角度测量的误差导致弧长计算的误差之圆弧半径这个“放大因子”，实在是大得不得了。即便放大因子不算太大，持续不断的放大也会导致“聚沙成塔、集腋成裘”的效果。一个简单的数学迭代游戏如下：取一个在0和1之间的数，将之加倍。如果结果还是在0和1之间，就得到下一个数，再做同样的事；如果结果大于1，就砍掉它的整数部分，得到下一个数，再做同样的事。如此这般地迭代下去永不停歇，就生成一个无穷数列，其中的每一个数都在0和1之间。实际上，这就是对“逐片线性函数”f(x)=2x(mod1)进行迭代，这里的记号mod表示对位于1和2之间的小数进行“砍头留尾”的操作。作为例子，如果第一个数取为1/13，那么它后面的数依次是2/13,4/13,8/13,3/13,6/13,12/13,11/13,9/13，等等。如果第一个数有了1%的误差，那么第二个数的误差就加倍为2%，第三个数的误差大到4%，以后依次增加到8%,16%,32%,64%，等等。这样，第七个数的误差就比第一个数的误差放大了26=64倍。每次数值都放大一倍的变量，其绝对值递增的速度快到令人目瞪口呆，例如放大一百次后的增加倍数远远超过10的25次方，这个数大得吓人，全世界的黄沙数比它小不知多少倍，就像俄罗斯裔美国物理学家乔治·伽莫夫(GeorgeGamow，-)的科普名著《从一到无穷大——科学中的事实和臆测》中一开头那个智者戏弄富翁的“大数故事”所讲的那样。洛伦茨在他的计算中看到了一类微分方程的解曲线“对初始值的敏感依赖性”。他终于领悟到这一异常现象根植于天气预报所依赖的微分方程组的这个内在特性，而不是什么计算过程中的舍入误差在从中作祟。后来，在年出版的《混沌的本质》这本书里，他再一次回忆到自己当时的想法：“如果实际大气的形态像这一简单模式的话，那么长期天气预报将是不可能的。温度、风以及其他和天气有关的量，确实不能精确地测量到三位小数。即使能够这样，但在观测点之间进行内插也不能达到类似的精确度。我有些激动，并且很快将我的发现告诉了一些同事。最终，我确信小的差别的放大是缺乏周期性的原因。”洛伦茨由此得出结论：“一个确定性的系统能够以最简单的方式表现出非周期的性态。”后来，他把自己的后续发现和分析写成了论文《确定性的非周期流》(DeterministicNonperiodicFlow)，发表在美国气象学会的《大气科学杂志》(JournaloftheAtmosphericSciences)出版于年的第二十卷第二期上，这篇文章迄今已被引用了超过次。他的如下断言无情地击碎了幻想长期天气预报一劳永逸的美梦：“由于天气观测存在自不待言的非精确性和不完全性，长期、准确的天气预报将是不可能的。”日后，洛伦茨将这一现象形象地比喻成“蝴蝶效应”，放到了他年12月29日在美国科学促进会上的演讲题目中：“可预见性：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗？”作为有趣的小插曲，更早几年他原先想用的比喻动物是飞翔在大洋上空的更壮观的“海鸥”，但请他演讲的一场会议主持人未能核实就在标题中写上“蝴蝶”而丢弃了“海鸥”，从此“蝴蝶效应”取代了“海鸥效应”而登上混沌的历史舞台。这里也必须提及两位女士的名字，她们是玛格丽特·汉密尔顿(MargaretHamilton，-)和艾伦·费特(EllenFetter，-)，在年的一篇文章《隐藏的混沌女英雄》(TheHiddenHeroinesofChaos)中，作者讲述了这两位计算机科学家鲜为人知的非凡故事。作为数学系的本科毕业生，她们年轻时一前一后为洛伦茨工作当程序员，汉密尔顿年加入他的小组，两年后因参加另一个项目而离开，但走前帮洛伦茨雇来了费特。那些年，她们都为洛伦茨的开创性数值发现混沌有相当贡献，以至于洛伦茨曾在一篇论文的最后向前者致谢：“ThewriterisgreatlyindebtedtoMrs.MargaretHamiltonforherassistanceinperformingthemanynumerical